Monty Hall problem

下午的时候看到ShiningRay的blog上的这篇日志,很久以前看过,只是没有好好考虑。又看到和菜头blog上的讨论,有了自己的一些想法,或许可以有助于理解。

问题是这样的:

你参加电视台的一个抽奖节目。台上有三个门,一个后边有汽车,其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个,你看到是山羊。这时,他给你机会让你可以重选,也就是你可以换选另一个剩下的门。那么,你换不换?

这个问题必须有以下前提:

    * 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
    * 主持人知道每扇门后面有什么。(重要)
    * 主持人必须开启剩下的其中一扇门,并且必须提供换门的机会。
    * 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。(重要)
          o 如果参赛者挑了一扇有山羊的门,主持人必须挑另一扇有山羊的门。
          o 如果参赛者挑了一扇有汽车的门,主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
    * 参赛者会被问是否保持他的原来选择,还是转而选择剩下的那一道门。

转化为概率问题就是,你若不换,整个过程中(不是最后那两个门的情况下)得到车的概率是多少?你若换了,整个过程中得到车的概率是多少?下面给出我的解答。

先考虑不换。

我不换,那么问题就是:三个门,第一次就挑出车概率是多少(和主持人完全无关。有关吗?想半天没想出来)。显然1/3。

再考虑换。

在换门的情况下要得车,那么第一次选择的门内必然要是羊。于是“在主持人知道三扇门内都是什么”的情况下,问题转述为:你第一次选中的是羊(事件一),而主持人随后打开的也是羊(事件二)的概率为多少?由于主持人是知道的,他打开羊的事件显然是必然事件(他必须要打开羊——前提里有,否则要考虑他玩你的情景——直接把车打开)。于是2/3×1 = 2/3。

那么如果主持人对三个门内的情况也完全不知道,又如何(这已经不是开始的问题了)?于是问题转化为:你第一次打开的是羊,主持人第二次打开的也是羊的概率是多少?注意,这里主持人打开的必然不是你打开的门,也就是说是无放回的。由于主持人同样不知道门内的状况,和你相同,因此两人毫无区别。于是,问题再度简化:你连续两次打开门(无放回,不是相同的门),均为羊的概率是多少?很简单,2/3×1/2=1/3。

最后把问题极端化。

有100个门,其中1个后有汽车,其余均为羊,你选1个,而后主持人打开门(除去你打开的),直到有2个,你换么?

我要不换,显然1/100。若是换,则问题变为我“第一次”选出的是羊的概率。这种情况下,如果主持人知道门内情况(也就是不会误打开车),99/100×1=99/100。他要是也不知道呢?那么问题就是:我连续打开99个门全是羊的概率是多少?99/100×98/99×……2/3×1/2=1/100。

相关资料可以参考维基百科 en|cn

p.s. 爸爸可以拿这道题去上排列组合的高考复习课:)

12 thoughts on “Monty Hall problem

  1. 有看到一个非常简洁精练的答案:
    换:
    假如原来选的是汽车(1/3),那么换了就挂了
    假如原来选的是绵羊(2/3),那么换了就赢了
    所以,换的情况下,赢的概率是2/3
    不换:
    假如原来选的是汽车(1/3),那么不换就赢了
    假如原来选的是绵羊(2/3),那么不换就挂了
    所以,不换的情况下,赢的概率是1/3

    当然如果主持人也不知道的话就另当别论了

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    NickyYe 于 2009 年 03 月 07 日 19:04 回复:

    嗯,和我的类似吧。
    我想尝试用数学的思考方式想出解答,不是这种感性的。
    XD

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