NickyYe 2009 年 03 月 07 日 17:22|
12条评论
下午的时候看到ShiningRay的blog上的这篇日志，很久以前看过，只是没有好好考虑。又看到和菜头blog上的讨论，有了自己的一些想法，或许可以有助于理解。
问题是这样的：
你参加电视台的一个抽奖节目。台上有三个门，一个后边有汽车，其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个，你看到是山羊。这时，他给你机会让你可以重选，也就是你可以换选另一个剩下的门。那么，你换不换？
这个问题必须有以下前提：
* 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
* 主持人知道每扇门后面有什么。（重要）
* 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
* 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。（重要）
o 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
o 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
* 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。
转化为概率问题就是，你若不换，整个过程中（不是最后那两个门的情况下）得到车的概率是多少？你若换了，整个过程中得到车的概率是多少？下面给出我的解答。
先考虑不换。
我不换，那么问题就是：三个门，第一次就挑出车概率是多少（和主持人完全无关。有关吗？想半天没想出来）。显然1/3。
再考虑换。
在换门的情况下要得车，那么第一次选择的门内必然要是羊。于是“在主持人知道三扇门内都是什么”的情况下，问题转述为：你第一次选中的是羊（事件一），而主持人随后打开的也是羊（事件二）的概率为多少？由于主持人是知道的，他打开羊的事件显然是必然事件（他必须要打开羊——前提里有，否则要考虑他玩你的情景——直接把车打开）。于是2/3×1 = 2/3。
那么如果主持人对三个门内的情况也完全不知道，又如何（这已经不是开始的问题了）？于是问题转化为：你第一次打开的是羊，主持人第二次打开的也是羊的概率是多少？注意，这里主持人打开的必然不是你打开的门，也就是说是无放回的。由于主持人同样不知道门内的状况，和你相同，因此两人毫无区别。于是，问题再度简化：你连续两次打开门（无放回，不是相同的门），均为羊的概率是多少？很简单，2/3×1/2=1/3。
最后把问题极端化。
有100个门，其中1个后有汽车，其余均为羊，你选1个，而后主持人打开门（除去你打开的），直到有2个，你换么？
我要不换，显然1/100。若是换，则问题变为我“第一次”选出的是羊的概率。这种情况下，如果主持人知道门内情况（也就是不会误打开车），99/100×1=99/100。他要是也不知道呢？那么问题就是：我连续打开99个门全是羊的概率是多少？99/100×98/99×……2/3×1/2=1/100。
相关资料可以参考维基百科 en|cn
p.s. 爸爸可以拿这道题去上排列组合的高考复习课：)
